Дуализм (теория категорий)

В теории категорий (абстрактном направлении математики) дуальной категорией или противоположной категорией $C^{op}$ категории $C$ называется категория, полученная при помощи обращения направления всех морфизмов категории $C$. Другими словами, объектами категории $C^{op}$ являются объекты категории $C$, однако морфизмы из $X$ в $Y$ соответствуют морфизмам из $Y$ в $X$ категории $C$. Таким образом дуальная категория дуальной категории тождественна само́й категории.

Примеры

• Простейший пример можно увидеть при обращении направления отношения неравенства в частичном порядке. Другими словами, если $X$ — множество, а ≤ — отношение частичного порядка, можно определить новое отношение частичного порядка ≤_new следующим образом:

x ≤_new y тогда и только тогда, когда y ≤ x.

В этом примере родительские и дочерние элементы поменялись местами.

• Категория булевых алгебр и булевы гомоморфизмы являются дуальными к категории каменных пространств (?) и непрерывным функциям.

Формальное определение

Пусть $\Sigma$ — произвольное утверждение элементарной теории абстрактной категории. Дуальное утверждение к $\Sigma$ формируется следующим образом:

1. Заменить каждое вхождение «домена» в $\Sigma$ «кодоменом» и наоборот.
2. Заменить каждое вхождение $g \circ f = h$ на $f \circ g = h$.

Неформально эти условия обозначают, что дуализм утверждения создатся при помощи обращений стрелок и композиции функций. Например, можно рассмотреть следующие утверждения о категории $C$:

• $f \colon A \to B$.
• $f$ является моническим, т. е. для всех морфизмов $g, h$, для которых имеет смысл операция композиции, из $f \circ g = f \circ h$ следует $g = h$.

Соответствующие дуальные утверждения:

• $f \colon B \to A$.
• $f$ является эпическим, т. е. для всех морфизмов $g, h$, для которых имеет смысл операция композиции, из $g \circ f = h \circ f$ следует $g = h$.

Принцип дуальности гласит, что если утверждение является теоремой, то дуальное утверждение также является теоремой. Под теоремой здесь подразумевается утверждени, которое можно доказать при помощи аксиом и правил вывода элементарной теории абстрактной категории. Практически это значит, что для непротиворечивого утверждения о конкретной категории $C$ дуальное утверждение непротиворечиво в дуальной категории $C^{op}$.

Дуальность

Пример с частичным порядком относится к специальному случаю, поскольку частичный порядок соответствует особому виду категорий, в которых Hom (A, B) всегда имеет по крайней мере один элемент. В приложении к логике это выглядит как очень обобщённое описани отрицания (поскольку доказательства направлены в противоположном направлении). Например, если рассматривать решётки, можно увидеть, что операции <<встречи>> и <<слияния>> меняют свои роли. Это — абстрактная форма закона Де Моргана.

Обобщая это наблюдение, пределы и копределы меняются местами, когда происходит переход из категории в её дуальную категорию. Это несомненно полезно, когда можно определить дуальную категорию в конкретных терминах. Например, категория афинных схем является эквивалентной дуальной категории коммутативных колец. Дуальность Понтрягина ограничивает эквивалентность между категорией компактных хаусдорфовских абелевых топологических групп и её дуальной категории (дискретных) абелевых групп.

Дуальности

Дуальность между категориями $C$ и $D$ определяется как эквивалентность между $C$ и дуальной категорией к $D$. Самодуальная категория — категория, эквивалентная своей дуальной категории. Примером самодуальой категории является категория конечных абелевых групп.

Ковариантность и контравариантность функторов

Другая область, где используется понятие дуализма, заключается в снятии различий между ковариантными и контравариантными функторами: контравариантный функтор в $C$ эквивалентен функтору в дуальную категорию к $C$.

См. также

• Дуальный объект