G2 (математика)

В математике G₂ — название нескольких групп Ли и связанной с ними алгебры Ли $\mathfrak{g}_2$. Это наименьшая из пяти исключительных простых глрупп Ли. G₂ имеет ранг 2 и размерность 14. Её фундаментальное представление 7-мерно.

Компактная форма G₂ является группой автоморфизмов алгебры октанионов (октав), а также представляет собой подгруппу $SO(7)$, которая оставляет инвариантным 8-мерное действительное спинорное представление любого вектора.

Реализации

Существует 3 простые действительные алгебры Ли, ассоционированные с данной корневой системой:

• Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G₂ сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G₂.
• Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра и является односвязной и компактной.
• Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).

Алгебра

Диаграмма Дынкина

Диаграмма дынкина G_2

Корневая система G₂

Несмотря то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, намного более красива и симметрична их форма в 2-мерном подпространстве трёхмерного пространства:

(1,−1,0),(−1,1,0)

(1,0,−1),(−1,0,1),

(0,1,−1),(0,−1,1),

(2,−1,−1),(−2,1,1),

(1,−2,1),(−1,2,−1),

(1,1,−2),(−1,−1,2),

и простые положительные корневые вектора

(0,1,−1), (1,−2,1).

Группа Вейля/Коксетера

Для алгебры G₂ это — группа диэдра, D₁₂ 12 порядка.

Матрица Картана

$$\begin{pmatrix} 2&-3\\ -1&2 \end{pmatrix}$$

Специальные голономии

G₂ — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики. Многообразия голономии G₂ называются G₂-многообразиями.

Ссылки

• en:John Baez, The Octonions, Section 4.1: G₂, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Онлайн HTML версия.